अध्याय ३ · खण्ड II · 18 मिनेट
बेजको नियम
एउटै समीकरणले १०,००० मा एक जनालाई हुने रोगको ९५% सटीक परीक्षणले किन धेरै झूटा पोजिटिभ दिन्छ देखाउँछ — र के गर्ने।
बेजको नियम यो पाठ्यक्रमको सबैभन्दा उपयोगी गणित हो। नयाँ प्रमाण आउँदा विश्वास कसरी अद्यावधिक गर्ने भन्ने यसले बताउँछ।
यो तथ्याङ्कशास्त्रकै सबैभन्दा अनौठा परिणामहरूमध्ये एकको स्रोत पनि हो: दुर्लभ रोगका लागि ९५% सटीक परीक्षण, स्वस्थ व्यक्तिमा पोजिटिभ आउँदा, सही हुनेभन्दा बढी पटक गलत हुन्छ। धेरैजसो मानिस सोच्छन् — पोजिटिभ आउनुको अर्थ रोग लाग्ने ९५% सम्भावना हो। सही उत्तर २% को नजिक छ। बेजको नियम त्यहाँ पुर्याउने हिसाब हो।
तीन तत्व: प्रायर, लिकलिहुड, पोस्टेरियर
बेजको नियमका तीन सामग्री छन्। शब्दहरू सिक्नुहोस् र बाँकी अंकगणित हो।
- प्रायर। नयाँ प्रमाण देख्नुअघि संसारबारे तपाईंको विश्वास। “काठमाडौंका कति अंश बासिन्दालाई यो दुर्लभ रोग छ?”
- लिकलिहुड। परिकल्पना सही हुँदा प्रमाण देखिने सम्भाव्यता। “व्यक्तिलाई रोग छ भने परीक्षण कति सम्भावित पोजिटिभ हुन्छ?” (संवेदनशीलता।) “रोग छैन भने पनि कति सम्भावित पोजिटिभ हुन्छ?” (झूटा पोजिटिभ दर।)
- पोस्टेरियर। प्रमाणपछिको तपाईंको अद्यावधिक विश्वास। “यो व्यक्ति पोजिटिभ आयो भने वास्तवमा रोग हुने सम्भाव्यता कति हो?”
बेजको नियम भनेको प्रायर र लिकलिहुडबाट पोस्टेरियरसम्म पुग्ने तरिका हो। हामी बीजगणित लेख्दैनौं; हामी गणना गर्छौं।
उदाहरण: काठमाडौंमा दुर्लभ रोग
कल्पना गर्नुहोस् — काठमाडौंमा १०,००० मा १ जनालाई कुनै रोग छ। नयाँ परीक्षणका गुण यी छन्:
- रोग छ भने ९५% पटक परीक्षण पोजिटिभ हुन्छ।
- रोग छैन भने ५% पटक पनि परीक्षण पोजिटिभ हुन्छ (झूटा पोजिटिभ)।
तपाईं पोजिटिभ आउनुभयो। वास्तवमा रोग हुने सम्भावना कति हो?
बेजको नियम सजिलो बनाउने चलाखी हो — मानिस गन्नु, अंश गुणन नगर्नु। कल्पना गर्नुहोस् १०,००,००० अनियमित काठमाडौंवासी परीक्षणका लागि लाइन लागेका छन्।
चरण १ — रोगको स्थितिअनुसार छुट्याउनुहोस्।
- रोग छ: १०,००,००० ÷ १०,००० = १०० जना।
- स्वस्थ: ९,९९,९०० जना।
चरण २ — प्रत्येक समूहमा कति पोजिटिभ आउँछन् गन्नुहोस्।
- रोग छ, पोजिटिभ: १०० × ०.९५ = ९५ जना।
- स्वस्थ, पोजिटिभ: ९,९९,९०० × ०.०५ = ४९,९९५ जना।
चरण ३ — पोजिटिभ आउनेमध्ये कतिलाई वास्तवमा रोग छ?
- कुल पोजिटिभ: ९५ + ४९,९९५ = ५०,०९०।
- ती मध्ये वास्तविक बिरामी: ९५।
- अंश: ९५ ÷ ५०,०९० ≈ ०.००१९, अर्थात् करिब ०.२%।
“९५% सटीक” परीक्षणमा पोजिटिभ आउनुको अर्थ हो — वास्तवमा रोग हुने ०.२% सम्भावना। पोजिटिभ आउनेमध्ये लगभग सबै — ५०,०९० मा ४९,९९५ — झूटा पोजिटिभ हुन्।
परीक्षण रिपोर्ट आउँदा के बदलियो?
परीक्षण अघि, रोगको प्रायर सम्भाव्यता १०० ÷ १०,००,००० = ०.०१% थियो। परीक्षणपछि, पोस्टेरियर ०.२% भयो।
यो बीस गुणा वृद्धि हो। प्रमाणले विश्वास सार्यो — बेजको नियम ठ्याक्कै त्यही गर्न बनाइएको हो। यसले विश्वास “अति सानो” बाट “बीस-गुणा-सानो” मा सार्यो, “अति सानो” बाट “लगभग निश्चित” मा होइन।
निष्कर्ष यो होइन कि परीक्षण निरर्थक छ। निष्कर्ष हो — परीक्षण सन्दर्भसहित प्रयोग गर्नुपर्छ। स्क्रिनिङमा पोजिटिभ नतिजा भनेको अझ विशिष्ट (र अझ महँगो) पुष्टिकर्ता परीक्षण चलाउने कारण हो — उपचार सुरु गर्ने होइन।
एआई प्रणालीमा उही तर्क
“रोग” लाई “ठगी” ले, “परीक्षण” लाई “ठगी मोडेल” ले, र “काठमाडौंवासी” लाई “खल्तीका कारोबार” ले बदल्नुहोस्। उही अंकगणित लागू हुन्छ।
खल्तीको कारोबार धारमा साँचो ठगी दुर्लभ छ — सायद ५,००० मा १। ठगीको ९५% समात्ने र वैध कारोबारको १% फ्ल्याग गर्ने मोडेल उत्कृष्ट सुनिन्छ। तर अंक हेरौं:
- ठगी, फ्ल्याग: (१ / ५,०००) × ०.९५ ≈ ०.०००१९ प्रति कारोबार।
- वैध, फ्ल्याग: (४,९९९ / ५,०००) × ०.०१ ≈ ०.००९९९ प्रति कारोबार।
मोडेलले समातेको हरेक साँचो ठगीका लागि, यसले झन्डै ५० वैध कारोबार गलत फ्ल्याग गर्छ। प्रणालीले फ्ल्याग गरेका कारोबारलाई सरासर रोक्न सक्दैन — चुनौती दिनुपर्छ, OTP वा कलले — किनकि एक ठगी समात्न ५० इमानदार प्रयोगकर्ता बन्द गर्नुको लागत स्वीकार्य हुँदैन।
यसैले फ्ल्यागमा कसरी प्रतिक्रिया दिने भन्ने ठगी टोलीको छनोट मोडेलको कच्चा सटीकताभन्दा महत्त्वपूर्ण हो। बेज गणनाले कस्तो प्रतिक्रिया अर्थपूर्ण छ बताउँछ।
पत्रपत्रिकामा बेज पढ्ने
बेज-आकारका भ्रमका तीन वास्तविक उदाहरण:
-
“डीएनए प्रमाणको त्रुटि दर एक करोडमा एक हो।” सही — तर एक करोडको शहरमा यसको अर्थ एक जना गलत आरोपी हिँडिरहेका हुन्छन्। डाटाबेसविरुद्ध परीक्षण गर्नुहोस् भने झूटा मिलान लगभग सुनिश्चित छ।
-
“विमानस्थलको सुरक्षाले ९९% हतियार पक्डन्छ।” सम्भव छ — तर १० लाख यात्रीमा १ जनाले मात्र हतियार बोक्छ भने अलार्म हतियारधारी भन्दा निर्दोष यात्रीमा धेरै पटक बज्छ।
-
“एआई ट्युटरले छाड्ने जोखिममा रहेका ८०% विद्यार्थी पहिचान गर्यो।” ५% विद्यार्थी मात्र वास्तवमा जोखिममा छन् भने अधिकांश अलर्ट झूटा हुन्। अलर्टलाई फैसला झैं व्यवहार गर्नुहोस् — गलत विद्यार्थीलाई हानि पुग्छ।
तीनै केसमा गणित उस्तै हो: कम आधार दर र अपूर्ण परीक्षण मिल्दा झूटा पोजिटिभको बाढी आउँछ। एक पटक देख्न सिकेपछि तपाईं यो जताततै देख्नुहुनेछ।
आफ्नो बुझाइ जाँच्नुहोस्
छोटो जाँच
—बेजको नियममा, प्रमाण देखेपछि परिकल्पनाबारे अद्यावधिक भएको विश्वासलाई के भनिन्छ?
छोटो जाँच
—कुनै दुर्लभ रोगको परीक्षणमा ९५% संवेदनशीलता र ५% झूटा-पोजिटिभ दर छ। पोजिटिभ नतिजा आए पनि व्यक्ति सायद स्वस्थ नै हुन सक्ने सबैभन्दा सही व्याख्या कुन हो?
अब के?
बेजको नियम एक पटक देखियो। अर्को खण्डले यसलाई काम लाग्ने एआई वर्गीकरणमा बदल्छ — नायभ बेज — जसले दुई दशक स्पाम फिल्टरिङ र कागजात वर्गीकरणको काम गर्यो। बीस लाइनको कोडमा लागू गर्न सकिन्छ। २०२६ का धेरैजसो “एआई” तैनाथीहरू ठूलो भाषा मोडेलभन्दा यसबाट बेहतर सेवित हुन्थे।